시계열 그래프 그리기
시계열 자료: 시간의 변화에 따라 관측치 또는 통계량의 변화를 기록해 놓은 자료
시계열 분석은 현재의 현상 이해를 기초로 미래를 예측하는 분석 방법
경기예측, 판매예측, 주식시장분석, 예산 및 투자 분석 등의 분야에서 활용
1. 시계열 분석 (Time Series Analysis)
시계열 분석: 어떤 현상에 대해서 시간의 변화량을 기록한 시계열 자료를 대상으로 미래의 변화에 대한 추세를 분석하는 방법
1.1 시계열분석의 특징
시계열분석은 설명변수와 반응변수를 토대로 유의수준에 의해서 판단하는 추론 통계방식
시계열분석의 특징과 분석에 사용되는 데이터 셋의 전제조건:
y변수 존재: 시간 t를 설명변수(x)로 시계열을 반응변수(y)로 사용
미래추정: 과거와 현재의 현상을 파악하고 이를 통해 미래를 추정
계절성 자료: 시간 축을 기준으로 계절성이 있는 자료를 데이터 셋으로 이용
모수 검정: 선형성, 정규성, 등분산성 가정을 만족해야 한다.
추론 기능: 유의수준 판단 기준이 존재하는 추론통계 방식
활용분야: 경기예측, 판매예측, 주식시장분석, 예산 및 투자 분석 등에서 활용
1.2 시계열분석의 적용 범위
회귀분석 vs. 시계열 분석
회귀분석: 데이터의분포나 두 데이터 간의 상관성을 토대로 분석
시계열분석: 어떤 시간의 변화에 따라 현재 시점(t)의 자료와 이전시점(t-1)의 자료 간의 상관성을 토대로 분석
시계열분석의 적용 사례
기존 사실에 관한 결과 규명: 고객의 구매패턴 분석
시계열 자료 특성 규명: 시계열에 영향을 주는 추세, 계절, 순환, 불규칙 요소를 분해해서 분석(시계열 요소분해법)
가까운 미래에 대한 시나리오 규명
변수와 변수의 관계 규명: 경기선행지수와 종합주가지수의 관계 분석의 사례
변수 제어 결과 규명: 입력변수의 제어(조작)를 통해서 미래의 예측결과를 통제
2. 시계열 자료분석
시계열 자료는 크게 정상성 시계열과 비정상성 시계열로 구분
대부분의 시계열 자료는 비정상성 시계열 자료
2.1 시계열 자료 구분
정상성(stationary)시계열: 시계열 자료의 변화 패턴이 일정한 평균값을 중심으로 일정한 변동 폭을 갖는 시계열
비정상(non-stationary)시계열: 정상성 시계열이 아닌 시계열 자료
[그림 17.1] 정상성 시계열과 비정상성 시계열
왼쪽: 정상시계열, 오른쪽: 비정상시계열
2.2 시계열 자료 확인
정상성 시계열은 평균이 0이며 일정한 분산을 갖는 정규분포에서 추출된 임의의 값으로 불규칙성(독립적)을 갖는 데이터로 정의
백색 잡음(white noise): 이러한 불규칙성을 갖는 패턴
비정상성 시계열은 규칙성(비독립성)을 갖는 패턴으로 시간의 추이에 따라서 점진적으로 증가하거나 하강하는 추세(Trend)의 규칙, 일정한 주기(cycle)단위로 동일한 규칙이 반복되는 계절성(Seasonality)의 규칙을 보인다.
이러한 비정상성 시계열은 시계열 자료의 추세선, 시계열 요소분해, 자기상관 함수의 시각화 등을 통해서 확인할 수 있다.
시계열 자료가 비정상성 시계열이면 정상성 시계열로 변화시켜야 시계열 모형을 생성할 수 있다.
정상성 시계열로 변환시키키는 대표적 방법:
1) 차분(Differencing): 현재 시점에서 이전 시점의 자료를 빼는 연산으로 평균을 정상화하는데 이용
2) 로그변환: log()함수를 이용하여 분산을 정상화하는데 이용
실습 (비정상성 시계열을 정상성 시계열로 변경)
#1단계: AirPassengers 데이터 셋 가져오기
data(AirPassengers)
#더 알아보기 (AirPassengers 데이터 셋)
#https://www.rdocumentation.org/packages/datasets/versions/3.6.2/topics/AirPassengers
#2단계: 차분 적용 – 평균 정상화
par(mfrow = c(1, 2))
ts.plot(AirPassengers)
diff <- diff(AirPassengers)
plot(diff)
#ts.plot()함수: 시계열 시각화
#https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/ts.plot
#diff()함수: 차분
#https://www.rdocumentation.org/packages/base/versions/3.6.2/topics/diff
#차분을 수행한 결과가 대체로 일정한 값을 얻으면 선형의 추세를 갖는다는 판단 가능
#만약, 시계열에 계절성이 있으면 계절 차분을 수행하여 정상성 시계열로 변경
#차분된 것을 다시 차분했을 때 일정한 값들을 보인다면 그 시계열 자료는 2차식의 추세를 갖는다고 판단
#3단계: 로그 적용 – 분산 정상화
par(mfrow = c(1, 2))
plot(AirPassengers)
log <- diff(log(AirPassengers))
plot(log)log()함수
https://www.rdocumentation.org/packages/base/versions/3.6.2/topics/log
3. 시계열 자료 시각화
3.1 시계열 추세선 시각화
추세선: 어떤 현상이 일정한 방향으로 나아가는 경향이 직선이나 곡선 형태로 차트에서 나타내는 선
실습 (단일 시계열 자료 시각화)
data("WWWusage")
str(WWWusage)
WWWusage
#더 알아보기(WWWusage 데이터 셋)
#https://www.rdocumentation.org/packages/datasets/versions/3.6.2/topics/WWWusage
2단계: 시계열 자료 추세선 시각화
X11()
ts.plot(WWWusage, type = "l", col = "red")
#X11()함수: 새로운 창에서 시각화
#https://www.rdocumentation.org/packages/grDevices/versions/3.6.2/topics/x11
ts.plot()함수 사용(p582 참조)
실습 (다중 시계열 자료 시각화)
EuStockMarkets 데이터 셋 사용
#1단계: 데이터 가져오기
data(EuStockMarkets)
head(EuStockMarkets)
#2단계: 데이터프레임으로 변환
EuStock <- data.frame(EuStockMarkets)
head(EuStock)
#3단계: 단일 시계열 자료 추세선 시각화(1,000개 데이터 대상)
X11()
plot(EuStock$DAX[1:1000], type = "l", col = "red")
#4단계: 다중 시계열 자료 추세선 시각화(1,000개 데이터 대상)
plot.ts(cbind(EuStock$DAX[1:1000], EuStock$SMI[1:1000]),
main = "주가지수 추세선")plot.ts()함수: 시계열 자료 plot
https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/plot.ts
3.2 시계열 요소 분해 시각화
시계열 자료의 변동요인:
추세변동(Trend variation: T): 상승과 하락의 영향을 받아 시계열 자료에 영향을 주는 장기 변동요인
순환변동(Cyclical variation: C): 일정한 기간 없이 반복적인 요소를 가지는 중/장기 변동요인
계절변동(seasonal variation: S): 일정기간에 의해서 1년 단위로 반복적인 요소를 가지는 단기 변동요인
불규칙변동(Irregular variation: I): 어떤 규칙 없이 예측 불가능한 변동요인으로 추세, 순환, 계절요인으로 설명할 수 없는 요인. 실제 시계열 자료에서 추세, 순환, 계절요인을 뺀 결과로 나타난다. 이는 회귀분석에서 오차에 해당
실습 (시계열 요소 분해 시각화)
#1단계: 시계열 자료 준비
data <- c(45, 56, 45, 43, 69, 75, 58, 59, 66, 64, 62, 65,
55, 49, 67, 55, 71, 78, 71, 65, 69, 43, 70, 75,
56, 56, 65, 55, 82, 85, 75, 77, 77, 69, 79, 89)
length(data)
#2단계: 시계열 자료 생성 – 시계열 자료 형식으로 객체 생성
tsdata <- ts(data, start = c(2016, 1), frequency = 12)
tsdata
#3단계: 추세선 확인 – 각 요인(추세, 순환, 계절, 불규칙)을 시각적으로 확인
ts.plot(tsdata)
#4단계: 시계열 분해
plot(stl(tsdata, "periodic"))
#stl()함수: 하나의 시계열 자료를 대상으로 시계열 변동요인인 계절요소(seasonal), 추세(trend), 잔차(remainder)를 모두 제공
#https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/stl
#5단계: 시계열 분해와 변동요인 제거
m <- decompose(tsdata)
attributes(m)
plot(m)
par(mfrow = c(1, 1))
plot(tsdata - m$seasonal)
#decompose()함수: 시계열 분해
#https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/decompose
#6단계: 추세요인과 불규칙요인 제거
plot(tsdata - m$trend)
plot(tsdata - m$seasonal - m$trend)
3.3 자기 상관 함수/부분 자기 상관 함수 시각화
자기 상관성: 자기 상관계수가 유의미한가를 나타내는 특성
자기 상관계수(Auto Correlation Function, ACF): 시계열 자료(Yt)에서 시차(lag)를 일정하게 주는 경우 얻어지는 상관계수
예) 시차1의 자기 상관계수는 Yt와 Yt-1 간의 상관계수
부분 자기 상관계수(Partial Auto Correlation Function, PACF): 다른 시차들의 시계열 자료가 미치는 영향을 제거한 후에 주어진 시차에 대한 시계열 간의 상관계수
자기 상관 함수와 부분 자기 상관 함수는 시계열의 모형을 식별하는 수단으로 이용
실습 (시계열 요소 분해 시각화)
#1단계: 시계열 자료 생성
input <- c(3180, 3000, 3200, 3100, 3300, 3200,
3400, 3550, 3200, 3400, 3300, 3700)
length(input)
tsdata <- ts(input, start = c(2015, 2), frequency = 12)
#2단계: 자기 상관 함수 시각화
acf(na.omit(tsdata), main ="자기상관함수", col = "red")
#acf()함수
#https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/acf
#점선은 유의미한 자기 상관관계에 대한 임계값을 의미
#모든 시차(lag)가 파란 점선 안쪽에 있기 때문에 서로 이웃한 시점 간의 자기 상관성은 없는 것으로 해석
#3단계: 부분 자기 상관 함수 시각화
pacf(na.omit(tsdata), main = "부분 자기 상관 함수", col = "red")pacf()함수:
https://www.rdocumentation.org/packages/forecast/versions/8.14/topics/Acf
자기 상관 함수에 의해서 주기 생성에는 어떤 종류의 시간 간격이 영향을 미치는가를 보여주고 있다.
모든 시차가 점선 안에 있기 때문에 주어진 시점 간의 자기 상관성은 없는 것으로 해석
3.4 추세 패턴 찾기 시각화
추세패턴: 시계열 자료가 증가 또는 감소하는 경향이 있는지 알아보고, 증가 또는 감소하는 경향이 선형(linear)인지 비선형(nonlinear)인지를 찾는 과정
추세 패턴의 객관적인 근거는 차분(Differencing)과 자기 상관성(Autocorrelation)을 통해서 얻을 수 있다.
실습 (시계열 자료의 추세 패턴 찾기 시각화)
#1단계: 시계열 자료 생성
input <- c(3180, 3000, 3200, 3100, 3300, 3200,
3400, 3550, 3200, 3400, 3300, 3700)
#2단계: 추세선 시각화
plot(tsdata, type = "l", col = "red")
#3단계: 자기상관함수 시각화
acf(na.omit(tsdata), main = "자기상관함수", col = "red")
#4단계: 차분 시각화
plot(diff(tsdata, differences = 1))
4. 시계열분석 기법
시계열 자료의 분석 기법: 평활법, 시계열 요소분해법, 회귀 분석법, ARIMA모형법
[표 17.1] 시계열 분석 기법의 분류
시계열 요소분해법, 평활법, ARIMA모형, 회귀모형(계량경제)
시계열 요소분해법, 평활법: 시각적으로 직관성 제공
ARIMA모형, 회귀모형은 수학적 이론 배경으로 1개 이상의 다변량 시계열 데이터를 대상으로 분석
일반 회귀모형은 시계열 자료에서 시간 t를 설명변수로 한다.
계량경제 모형은 Yt와 Yt-1 사이의 시계열 자료를 대상으로 회귀분석을 수행하는 모형
4.1 시계열 요소 분해법
시계열 요소 분해법: 시계열 자료의 4가지 변동요인을 찾아서 시각적으로 분석하는 기법
추세 변동에 대한 분석:
시계열 자료가 증가하거나 감소하는 경향이 있는지 파악
증가나 감소의 경향이 선형(linear)인지, 비선형(nonlinear)인지, S 곡선과 같은 성장곡선 인지 찾는 과정이 필요
추세의 패턴을 찾는 방법
1) 차분 후 일정한 값을 나타내면 선형의 패턴(대각선)
2) 로그변환 후 일정한 값을 나타내면 비선형의 패턴(U자, 역U자)
3) 로그변환 후 1차 차분결과가 일정한 값으로 나타나면 성장곡선의 패턴(S자)
4.2 평활법
과거 자료의 불규칙한 변동을 제거하는 방법
(1) 이동평균(Moving Average)
일정한 기간의 자료를 평균으로 계산하고 이동시킨 추세를 파악하여 다음기간의 추세를 예측하는 방법
이동평균법의 특징:
시계열 자료에서 계절 변동과 불규칙변동을 제거하여 추세 변동과 순환 변동만 갖는 시계열로 변환한다. (시계열에서 추세와 순환 예측)
자료의 수가 많고 비교적 안정적인 패턴을 보이는 경우 효과적이다.
(2) 지수평활법(Exponential Smoothing)
최근 시계열에 더 큰 가중치를 적용하는 방법
실습 (이동평균법을 이용한 평활하기)
#1단계: 시계열 자료 생성
data <- c(45, 56, 45, 43, 69, 75, 58, 59, 66, 64, 62, 65,
55, 49, 67, 55, 71, 78, 71, 65, 69, 43, 70, 75,
56, 56, 65, 55, 82, 85, 75, 77, 77, 69, 79, 89)
length(data)
tsdata <- ts(data, start = c(2016, 1), frequency = 12)
tsdata
#2단계: 평활 관련 패키지 설치
install.packages("TTR")
library(TTR)
TTR패키지
#3단계: 이동평균법으로 평활 및 시각화
par(mfrow = c(2, 2))
plot(tsdata, main = "원 시계열 자료")
plot(SMA(tsdata, n = 1), main = "1년 단위 이동평균법으로 평활")
plot(SMA(tsdata, n = 2), main = "2년 단위 이동평균법으로 평활")
plot(SMA(tsdata, n = 3), main = "3년 단위 이동평균법으로 평활")
par(mfrow = c(1, 1))https://www.rdocumentation.org/packages/TTR/versions/0.24.2/topics/SMA
4.3 회귀분석법
선형 회귀분석을 이용하여 시계열 자료의 선형성, 정규성, 등분산성 등의 모수 검정을 위한 타당성을 검정해야 한다.
4.4 ARIMA모형법
시계열 모형은 정상성(Stationarity)의 조건 유무에 따라 분류
1) 정상성을 가진 시계열 모형: 자기 회귀모형(AR), 이동평균모형(MA), 자기 회귀 이동평균모형(ARMA)
2) 비정상성을 가진 시계열 모형: 자기 회귀 누적 이동평균모형(ARIMA)
정상성(stationarity): 시계열이 뚜렷한 추세가 없는 시계열. 시계열의 평균이 시간 축에 평행하게 나타난다.
시계열의 이론은 정상성을 가정하고 전개되기 때문에 비정상 시계열은 정상 시계열로 변환해야 한다.
대부분의 시계열자료는 비정상성 시계열의 형태를 가진다.
비정상성 시계열을 모형화하는데 Box-Jenkins의 ARIMA(AutoRegressive Integrated Moving Average) 모형을 이용
ARIMA모형은 3개의 인수 (p, d, q)를 갖는다. 여기서 p: 자기 회귀(AR)모형의 차수(시간지연수), d는 차분 차수(데이터가 과거 값을 뺀 횟수), q는 이동평균(MA)의 차수(이동 평균 모델의 순서).
시계열 자료를 d번 차분한 결과가 정상성 시계열의 ARIMA(p, q)모형이라면 시계열은 차수 d를 갖는 ARIMA(p, d, q)모형이 된다. 따라서 ARIMA는 차분(d)을 수행하여 비정상성 시계열을 정상성시계열로 바꾸어 놓고 시계열 자료를 분석
ARIMA모형으로 시계열 자료를 처리하는 절차:
(1) 식별: 시계열 자료가 어떤 모형(AR, MA, ARMA)에 해당하는가를 판단하는 단계. ARIMA의 3개 차수(p, d, q)를 결정. 식별수단은 자기상관함수(acf)와 부분자기상관함수(pacf)를 이용
(2) 추정: 식별된 모형의 파라미터를 추정하는 단계. 파라미터를 추정하는 수단은 최소제곱법 이용
(3) 진단: 모형 식별과 파라미터 추정으로 생성된 모형이 적합한지를 검증하는 단계. 잔차가 백색 잡음(white noise)인지를 살펴보고 백색 잡음과 차이가 없으면 적합하다고 할 수 있다. 여기서 백색잡음은 모형의 잔차가 불규칙적이고, 독립적으로 분포된 경우이며 특정 시차 간의 데이터가 서로 관련성이 없다는 의미.
5. ARIMA 모형 시계열 예측
5.1 ARIMA 모형 분석 절차
시계열 분석 절차
1단계: 시계열자료 특성 분석(정상성/비정상성)
2단계: 정상성 시계열 변환
3단계: 모형 식별과 추정
4단계: 모형 생성
5단계: 모형 진단(모형 타당성 검정)
6단계: 미래 예측(업무 적용)
5.2 정상성 시계열의 비계절형
비정상성 시계열은 차분을 통해서 정상성 시계열로 바꾸는 과정을 확인
모형 식별과 추정은 auto.arima()함수 이용
https://www.rdocumentation.org/packages/forecast/versions/8.14/topics/auto.arima
실습 (계절성이 없는 정상성 시계열분석)
정상성 시계열은 대체로 평균을 중심으로 진폭이 일정하게 나타난다.
만약 비정상성 시계열이면 차분을 통해서 정상성 시계열로 바꾸는 작업이 필요
1단계: 시계열자료 특성 분석
1-1단계: 데이터 준비
input <- c(3180, 3000, 3200, 3100, 3300, 3200,
3400, 3550, 3200, 3400, 3300, 3700)
1-2단계: 시계열 객체 생성(12개월)
tsdata <- ts(input, start = c(2015, 2), frequency = 12)
tsdata
ts()함수: 벡터 자료(input)를 대상으로 시계열 객체(tsdata)생성
https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/ts
1-3단계: 추세선 시각화
plot(tsdata, type = "l", col = "red")
차분을 통해서 비정상성 시계열을 정상성 시계열로 변환
차분은 일반 차분과 계절 차분으로 구분
계절성을 갖는 경우에는 계절 차분을 적용
2단계: 정상성 시계열 변환
par(mfrow = c(1, 2))
ts.plot(tsdata)
diff <- diff(tsdata)
plot(diff)
diff()함수
https://www.rdocumentation.org/packages/base/versions/3.6.2/topics/diff
1차 차분으로 정상화가 되지 않으면 2차 차분을 수행
3단계: 모델 식별과 추정
install.packages("forecast")
library(forecast)
arima <- auto.arima(tsdata)
arima
forecast 패키지 설치
ARIMA(AR, Diff, MA) ARIMA(1, 1, 0)
한번 차분한 결과가 정상성 시계열의 ARMA(1,0)모형으로 식별
AIC(Akaike’s Information Criterion): 모형의 적합도와 간명성을 동시에 나타내는 지수로 값이 적은
모형을 채택4
BIC(Bayesian Information Criterion): 이론적 예측력을 나타내는 지표
ARIMA(p, d, q)모형의 정상성 시계열 변환 방법:
d=0이면, ARMA(p, q)모형이며 정상성을 만족
p=0이면, IMA(d, q)모형이며 d번 차분하면 MA(q)모형을 따른다.
q=0이면, IAR(p, d)모형이며, d번 차분하면 AR(p)모형을 따른다.
4단계: 모형 생성
model <- arima(tsdata, order = c(1, 1, 0))
model
모형의 적합성 검증을 위해서 잔차가 백색 잡음(white noise)인가를 살펴본다.
백색잡음: 모형의 잔차가 불규칙적이고, 독립적으로 분포된 경우를 의미
특정 시간 간의 데이터가 서로 관련성이 없다(독립적인 관계)
모형을 진단하는 기준:
1) 자기 상관 함수의 결과가 유의미한 시차가 없는 경우
2) 오차 간의 상관관계가 존재하는지를 검정하는 방법인 Box-Ljung검정에서 p값이 0.05이상인 경우
5단계: 모형 진단(모형의 타당성 검정)
5-1단계: 자기 상관 함수에 의한 모형 진단
tsdiag(model)
tsdiag()함수
https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/tsdiag
좋은 시계열 모형은 잔차의 ACF에서 자가 상관이 발견되지 않고, p-value값이 0.05이상으로 분포
현재 ARIMA모형은 매우 양호한 시계열 모형
5-2단계: Box-Ljung검정에 의한 잔차항 모형 진단
Box.test(model$residuals, lag = 1, type = "Ljung")
Box-Ljung검정: 모형의 잔차를 이용하는 카이제곱검정방법. 시계열 모형이 통계적으로 적절한지 검정.
P-value가 0.05이상이면 모형이 통계적으로 적절
백색잡음과정: 시계열 모형이 적합하다면 잔차항은 서로 독립이고 동일한 분포를 따름
정상 시계열은 이러한 백색잡음과정으로부터 생성
6단계: 미래 예측(업무 적용)
fore <- forecast(model)
fore
par(mfrow = c(1, 2))
plot(fore)
model2 <- forecast(model, h = 6)
plot(model2)forecast()함수: 시계열의 예측치를 제공하는 함수
https://www.rdocumentation.org/packages/forecast/versions/8.13/topics/forecast
5.3 정상성 시계열의 계절형
실습 (계절성을 갖는 정상성 시계열분석)
1단계: 시계열자료 특성 분석
1-1단계: 데이터 준비
data <- c(55, 56, 45, 43, 69, 75, 58, 59, 66, 64, 62, 65,
55, 49, 67, 55, 71, 78, 61, 65, 69, 53, 70, 75,
56, 56, 65, 55, 68, 80, 65, 67, 77, 69, 79, 82,
57, 55, 63, 60, 68, 70, 58, 65, 70, 55, 65, 70)
length(data)
1-2단계: 시계열 자료 생성
tsdata <- ts(data, start = c(2020, 1), frequency = 12)
tsdata
1-3단계: 시계열 요소 분해 시각화
ts_feature <- stl(tsdata, s.window = "periodic")
plot(ts_feature)
Seasonal, trend, random요소 분해 시각화를 통해 분석
차분을 통해 비정상성 시계열을 정상성 시계열로 변환
2단계: 정상성 시계열 변환
par(mfrow = c(1, 2))
ts.plot(tsdata)
diff <- diff(tsdata)
plot(diff)
3단계: 모형 식별과 추정
library(forecast)
ts_model2 <- auto.arima(tsdata)
ts_model2
ARIMA(0, 1, 1)(1, 1, 0)[12]
where
(0, 1, 1): 차분차수 1, MA모형 차수1. 한번 차분한 결과가 정상성 시계열의 ARMA(0, 1)모형으로 식별
(1, 1, 0): 계절성을 갖는 자기 회귀(AR)모형 차수가 1. 계절성을 갖는 시계열
[12]: 계절의 차수 12개월
4단계: 모형 생성
model <- arima(tsdata, c(0, 1, 1), seasonal = list(order = c(1, 1, 0)))
model
5단계: 모형 진단(모형 타당성 검정)
5-1단계: 자기 상관 함수에 의한 모형 진단
tsdiag(model)
https://statkclee.github.io/statistics/stat-time-series-arma.html
5-2단계: Box-Ljung에 의한 잔차항 모형 진단
Box.test(model$residuals, lag = 1, type = "Ljung")
모형 진단을 통해서 적절하나 모형으로 판단되면 이 모형으로 가까운 미래를 예측하는데 이용
6단계: 미래 예측(업무 적용)
par(mfrow = c(1, 2))
fore <- forecast(model, h = 24)
plot(fore)
fore2 <- forecast(model, h = 6)
plot(fore2)
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